Giả sử p và q là hai số nguyên tố lẻ phân biệt. Định lý liên hệ tính giải được của phương trình

x 2 ≡ p   ( m o d   q ) ( A ) {\displaystyle x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)\qquad (A)}

với tính giải được của phương trình

x 2 ≡ q   ( m o d   p ) ( B ) {\displaystyle x^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)\qquad (B)}

(xem đồng dư số học). nói cách khác, mệnh đề (A) khẳng định rằng p là một thặng dư bậc hai modulo q, trong khi (B) khẳng định rằng q là thặng dư bậc hai modulo p. Có hai trường hợp, hoặc cả p và q đồng dư với 3 (mod 4) (trường hợp II), hoặc ngược lại, ít nhất một trong chúng là đồng dư với 1 modulo 4 (trường hợp I).

Trường hợp I: Nếu p = 1 mod 4 hoặc q = 1 mod 4 (hoặc cả hai)

Trong trường hợp này, định lý nói rằng (A) có nghiệm khi và chỉ khi (B) có nghiệm. Nghĩa là, hoặc cả hai có nghiệm, hoặc cả hai đều không.

Ví dụ, nếu p = 13 và q = 17 (cả hai đều đồng dư 1 theo mod 4), thì (A) có nghiệm

8 2 ≡ 13 ( mod 17 ) , {\displaystyle 8^{2}\equiv 13{\pmod {17}},\,}

và (B) có nghiệm

2 2 ≡ 17 ( mod 13 ) . {\displaystyle 2^{2}\equiv 17{\pmod {13}}\,.}

Mặt khác, nếu p=5 và q=13 thì cả (A) và (B) đều không có nghiệm (điều này có thể kiểm tra trực tiếp bằng cách thử tất cả các thặng dư chính phương của 5 và 13)

Định lý không nói nên đều gì về nghiệm thực sự, mà chỉ nói đến nó có tồn tại hay không.

Trường hợp II: Nếu p = 3 mod 4 VÀ q = 3 mod 4

Các định lý phụ